Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác MNP biết M N ⇀ = - 3 ; 0 ; 4 và N P ⇀ = - 1 ; 0 ; - 2 . Độ dài đường trung tuyến MI của tam giác MNP bằng:
A. 9 2
B.
85
2
C. 95 2
D. 15 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác MNP có \(M\left( {2;1} \right),N\left( { - 1;3} \right),P\left( {4;2} \right)\)
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \)
b) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} \)
c) Tính độ dài các đoạn thẳng \(MN,MP\)
d) Tính \(\cos \widehat {MNP}\)
e) Tìm tọa độ trung điểm I của NP và trọn tâm G của tam giác MNP
a) Ta có: \(\overrightarrow {OM} = \left( {2;1} \right),\overrightarrow {MN} = \left( { - 3;2} \right),\overrightarrow {MP} = \left( {2;1} \right)\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} = - 3.2 + 2.1 = - 4\)
c) Ta có: \(MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {13} ,MP = \left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \)
d) Ta có: \(\cos \widehat {MNP} = \frac{{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} }}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {MP} } \right|}} = \frac{- 4}{{\sqrt {13} .\sqrt 5 }} = \frac{- 4}{{\sqrt {65} }}\)
e) Tọa độ trung điểm I của đoạn NP là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_N} + {x_P}}}{2} = \frac{3}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_N} + {y_P}}}{2} = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow I\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\)
Tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{5}{3}\\{y_C} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow G\left( {\frac{5}{3};2} \right)\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác MNP biết M N ⇀ = 2 ; 1 ; - 2 và N P ⇀ = - 14 ; 5 ; 2 .Biết Q thuộc MP; NQ là đường phân giác trong của góc N của tam giác MNP. Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. Q P ⇀ = 3 Q M ⇀
B . Q P ⇀ = - 5 Q M ⇀
C. Q P ⇀ = - 3 Q M ⇀
D. Q P ⇀ = 5 Q M ⇀
Cho tam giác đều MNP cạnh 3a.Tính độ dài vecto \(\left|\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PM}\right|\) nha!
\(\left|\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PM}\right|=\left|\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}\right|=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}\)
Gọi Q là trung điểm NP \(\Rightarrow MQ\) là trung tuyến trong tam giác đều
\(\Rightarrow MQ=\dfrac{MN\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}\)
\(\left|\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PM}\right|=\left|\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}\right|=\left|2\overrightarrow{MQ}\right|=2MQ=3a\sqrt{3}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A B ⇀ = ( - 3 ; 0 ; 4 ) , A C ⇀ = ( 5 ; - 2 ; 4 ) .
Độ dài trung tuyến AM là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}\) = (2;-1;0), biết \(\overrightarrow{b}\) cùng chiều với \(\overrightarrow{a}\)bồ có \(\left|\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\right|\) =10 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(1;1;1);N(1;0;-2),P(0;1;-1). Gọi G ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) là trực tâm tam giác MNP. Tính x 0 + z 0
A. 0
B. - 13 7
C. 5 2
D. -5
M(1;1;1);N(1;0;-2),P(0;1;-1) ⇒ N P ⇀ = - 1 ; 1 ; 1 ; M P ⇀ = - 1 ; 0 ; - 2
⇒ N P ⇀ ; M P ⇀ = - 2 ; - 3 ; 1
Phương trình mặt phẳng (MNP) là
G là trực tâm tam giác MNP
⇔
⇔
⇔
Chọn đáp án B.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm M(1;1;1), N(1;0;-2), P(0;1;-1). Gọi G x 0 ; y 0 ; z 0 là trực tâm tam giác MNP. Tính x 0 + z 0
A. -5
B. 5 2
C. - 13 7
D. 0
Đáp án B
Phương pháp: G là trực tâm tam giác MNP
Cách giải: Gọi G x 0 ; y 0 ; z 0 là trực tâm tam giác MNP
Mặt phẳng (MNP) có một VTPT
Phương trình (MNP) 2x+3y-z-4=0
Từ (1),(2),(3), suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}\) = (1;-2;3) và \(\overrightarrow{b}\) (1;1;-1) . Khẳng định nào dưới đây sai?
A:\(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=3\)
B: \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-4\)
C: \(\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=5\)
D: \(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(-1;-4;3\right)\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm M(1;1;1), N(1;0; - 2), P(0;1; - 1). Gọi G(x0;y0;z0) là trực tâm tam giác MNP. Tính x0 + z0
A. - 5
B. 5/2
C. - 13/7
D. 0
Đáp án C
Phương pháp: G là trực tâm tam giác MNP 
Cách giải: G(x0;y0;z0) là trực tâm tam giác MNP 
Mặt phẳng (MNP) có một VTPT 
Phương trình (MNP): 2x+3y-z-4=0
Từ (1),(2),(3), suy ra 
